畢業(yè)論文向量組線性關(guān)系（討論向量組的線性相關(guān)性的解題步驟）
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- 1、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的關(guān)系是什么?
- 2、美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽amc8評(píng)價(jià)
- 3、兩個(gè)向量組可以互相線性表示嗎?
- 4、線性相關(guān)與向量組的線性無(wú)關(guān)的關(guān)系是什么
線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的關(guān)系是什么?
向量組線性相關(guān)一定可以線性表出，線性無(wú)關(guān)一定可以線性表出。因?yàn)橄蛄拷Ma，b，＆線性相關(guān)可以推出＆一定可以由a，b線性表出＆＝u*a+v*b。寫成＆＝u*a+v*b+0*r。就是可以由a，b，r線性表出。注意：對(duì)于任一向量組而言，不是線性無(wú)關(guān)的就是線性相關(guān)的。
線性相關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中有一個(gè)或者多個(gè)量可以被其余量表示。線性無(wú)關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中沒(méi)有一個(gè)量可以被其余量表示。從維數(shù)空間上講，例如，一個(gè)三維空間，那么必須用三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量來(lái)表示，如果在加上另外一個(gè)向量，那么這個(gè)向量必然可以由上述三個(gè)向量唯一的線性表出。
由線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義可知：向量組a1，a2，...，ar的線性相關(guān)性歸結(jié)為齊次線性方程組Ax=0的解的情形，其中A＝(a1，a2，...，ar)。若方程組只有零解，向量組線性無(wú)關(guān)；若方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)。
原因：線性相關(guān)就是各行或列能互相線性表示，能進(jìn)行初等變換，把某一行或列變換到另一行或列，最后有一行會(huì)全為0，計(jì)算時(shí)行列式就等于0。所以行列式等于0就是線性相關(guān)。相反的，線性無(wú)關(guān)它的行列式不等于0，說(shuō)明是滿秩，沒(méi)有一行或一列全為0。沒(méi)有具體的定理。
線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義：一個(gè)向量組如果可以通過(guò)組內(nèi)向量的線性組合得到零向量，且僅當(dāng)所有系數(shù)均為零時(shí)，該向量組稱為線性無(wú)關(guān)的。如果存在不全為零的系數(shù)使得線性組合為零，則該向量組是線性相關(guān)的。
美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽amc8評(píng)價(jià)
1、AMC 8數(shù)學(xué)競(jìng)賽在全球范圍內(nèi)具有較高的認(rèn)可度，大約有5%的參賽者能夠達(dá)到前段水平。這一成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)表明，AMC 8的成就對(duì)于參與其中的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)顯著的成就。AMC 8的難度相當(dāng)于中國(guó)的數(shù)學(xué)“希望杯”比賽，針對(duì)的是8年級(jí)以下的學(xué)生，且參賽者年齡需小于15周歲。
2、AMC8競(jìng)賽含金量高，認(rèn)可度高，國(guó)際通用性強(qiáng)，對(duì)低齡學(xué)生來(lái)說(shuō)是展示數(shù)學(xué)天賦的途徑，也是優(yōu)質(zhì)國(guó)際學(xué)校選拔學(xué)生的依據(jù)，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并為后續(xù)晉級(jí)賽打下基礎(chǔ)。AMC8競(jìng)賽含金量表現(xiàn)在： 私校申請(qǐng)優(yōu)勢(shì)：AMC8證書和獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)私校申請(qǐng)有極大幫助，尤其是Achievement Roll獎(jiǎng)項(xiàng)，獲獎(jiǎng)幾率高。
3、AMC8相當(dāng)于國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)什么水平？AMC8數(shù)學(xué)競(jìng)賽在國(guó)際上享有高認(rèn)可度，面向八年級(jí)以下學(xué)生，類似于國(guó)內(nèi)小學(xué)杯賽，相當(dāng)于小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)的水平。競(jìng)賽內(nèi)容涵蓋中學(xué)數(shù)學(xué)課程主題，包括計(jì)數(shù)與概率、比例推理、幾何、函數(shù)、方程、坐標(biāo)幾何等。
4、amc8數(shù)學(xué)競(jìng)賽在國(guó)際上擁有超高認(rèn)可度，是全美幾乎所有中學(xué)優(yōu)先推薦的主要活動(dòng)之一。AMC可以說(shuō)是美國(guó)數(shù)學(xué)的人才備用庫(kù)，為各大名校申請(qǐng)者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)提供了一定的參考和評(píng)估。AMC8的獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)于申請(qǐng)美國(guó)初中與美國(guó)高中起到了至關(guān)重要的作用，是學(xué)術(shù)能力證明。
5、AMC8數(shù)學(xué)競(jìng)賽由美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽協(xié)會(huì)主辦，是一項(xiàng)具有權(quán)威性和廣泛認(rèn)可度的競(jìng)賽。該競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)?wù)咄趯W(xué)術(shù)上表現(xiàn)出色，備受頂尖學(xué)府和學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 競(jìng)賽的挑戰(zhàn)性和難度 AMC8數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目設(shè)計(jì)具有一定的挑戰(zhàn)性和難度，需要學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并具備靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
6、Amc8數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)際認(rèn)可度高，是全美幾乎所有中學(xué)優(yōu)先推薦的考試之一，是各大名校申請(qǐng)需要提供參考的考試，獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)申請(qǐng)美國(guó)初高中起到非常關(guān)鍵的作用，是孩子學(xué)習(xí)能力的證明。
兩個(gè)向量組可以互相線性表示嗎?
兩個(gè)向量組可以互相線性表示：等價(jià)向量組具有傳遞性、對(duì)稱性及反身性。但向量個(gè)數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)。兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含向量的個(gè)數(shù)相同。
向量組等價(jià)是指兩個(gè)向量組可以互相線性表示。也就是說(shuō)，如果存在兩個(gè)向量組A和B，對(duì)于A中的任意一個(gè)向量，都可以用B中的向量進(jìn)行線性組合表示，同時(shí)B中的任意一個(gè)向量也可以用A中的向量進(jìn)行線性組合表示，那么我們說(shuō)這兩個(gè)向量組是等價(jià)的。
兩個(gè)向量組可以互相線性表出，即是第一個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第二個(gè)向量組的向量的線性組合，且第二個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第一二個(gè)向量組的向量的線性組合。向量組等價(jià)的基本判定是：兩個(gè)向量組可以互相線性表示。
向量組等價(jià)的基本判定是：兩個(gè)向量組可以互相線性表示。需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是：等價(jià)的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價(jià)。向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價(jià)秩相等條件是 R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。
等價(jià)向量組具有傳遞性、對(duì)稱性和反身性，但向量個(gè)數(shù)與線性相關(guān)性不一定相同。任何向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，同樣，兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組之間也等價(jià)。兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量數(shù)量相同。等價(jià)向量組的秩相同，但秩相等的向量組并不一定等價(jià)。簡(jiǎn)而言之，兩個(gè)向量組若能互相線性表示，則稱它們等價(jià)。
線性相關(guān)與向量組的線性無(wú)關(guān)的關(guān)系是什么
向量組線性相關(guān)一定可以線性表出，線性無(wú)關(guān)一定可以線性表出。因?yàn)橄蛄拷Ma，b，＆線性相關(guān)可以推出＆一定可以由a，b線性表出＆＝u*a+v*b。寫成＆＝u*a+v*b+0*r。就是可以由a，b，r線性表出。注意：對(duì)于任一向量組而言，不是線性無(wú)關(guān)的就是線性相關(guān)的。
由線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義可知：向量組a1，a2，...，ar的線性相關(guān)性歸結(jié)為齊次線性方程組Ax=0的解的情形，其中A＝(a1，a2，...，ar)。若方程組只有零解，向量組線性無(wú)關(guān)；若方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)。
不是線性無(wú)關(guān)的就是線性相關(guān)的；向量組只包含一個(gè)向量a時(shí)，a為0向量，則說(shuō)A線性相關(guān)； 若a≠0， 則說(shuō)A線性無(wú)關(guān)。若向量組所包含向量個(gè)數(shù)等于分量個(gè)數(shù)時(shí)，判定向量組是否線性相關(guān)即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關(guān)；否則是線性無(wú)關(guān)的。
而向量組線性無(wú)關(guān)的定義是向量組中沒(méi)有向量可以用其它有限個(gè)向量線性組合表示，則成為無(wú)關(guān)。因此在向量組中并不要求任何兩個(gè)向量之間都線性相關(guān)。比如向量組：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三個(gè)向量并不是線性兩兩線性相關(guān)，但是該組向量，線性相關(guān)。
線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)性是向量組中的重要概念。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，線性相關(guān)意味著向量組中存在某種關(guān)系，而線性無(wú)關(guān)則表示向量組中的向量之間沒(méi)有這種關(guān)系。向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)性可通過(guò)加法與數(shù)乘這兩個(gè)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，體現(xiàn)了線性意義下的關(guān)系。
定義法 令向量組的線性組合為零（零向量），研究系數(shù)的取值情況，線性組合為零當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)皆為零，則該向量組線性無(wú)關(guān)；若存在不全為零的系數(shù)，使得線性組合為零，則該向量組線性相關(guān)。